ORIGENES DE LOS EJES, ABSCISAS, ORDENADAS Y COORDENADAS

ORIGENES DE LOS EJES, ABSCISAS, ORDENADAS Y COORDENADAS
Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que un punto de vista y su técnica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelantados que los de Fernat. Con respecto a la Géométrie, observa J. E. Montucla (1725-1799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a trazar a los matemáticos el camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los espíritus ordinarios”.
Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como una obra que ha hecho época y como un instrumento de investigación incomparable más poderoso que la geometría de los antiguos.
Refiriéndose a la creación de Descartes, escribe el matemático P. Boutroux (1845-1922) que su importancia estriba en “hacer ver cómo en la aplicación sistemática de coordenadas había un método de un poderío y una universalidad desconocidos hasta entonces en la matemática; un método destinado a anular, por la superación, a todos los anteriores; un método que, en colaboración con el concepto de función, debía revolucionar y regenerar todas las ciencias que se hallaban relacionadas con los conceptos del espacio y tiempo”.
Descartes no habla de ejes, ni de abscisas, ni de ordenada, ni de coordenadas. Para la representación de las curvas, escoge una recta, en posición horizontal, que a veces llama diámetro y, para comenzar el calculo, señala en ella un punto fijo (origen); luego toma puntos en el diámetro, y a cada punto asocia otro u otros, según la línea que estudia; en otras palabras: dada la ecuación de una línea y la elegida una recta como eje y en ella un punto fijo, a cada distancia (abscisa) contada desde el origen corresponde otra distancia (ordenada) en una dirección perpendicular al eje; el extremo del segundo segmento u ordenada, determina un punto de la línea, es decir, el punto de la línea queda localizado cuando no es conocido el punto tomado en el eje.
Descartes no introduce formalmente el segundo eje, el vertical.
Las coordenadas x, y las llama cantidades indeterminadas y, contrariamente a lo que se hace en la actualidad, toma las abscisas en el sentido vertical y las ordenadas en el horizontal.
“Observase en Descartes que adopta como principio que la ecuación de un lugar geométrico únicamente es válida para el cuadrante para el cual fue establecida. La generalización de sus propiedades a los demás cuadrantes fue asunto que sólo a la larga llegó a considerarse, y no puede atribuirse a ningún geómetra en particular”, lo anterior lo afirma P. Tannery (1843-1901).
G. F. de L´Hospiatl (1661-1704), que publicó el más importante texto de Geometría Analítica, fue quien introdujo realmente los dos ejes, no forzosamente perpendiculares, y atribuyó signos a las coordenadas, según las convenciones aún hoy en día en uso, aunque advierte al lector que se limitará a describir los fenómenos que se verifican dentro del ángulo (cuadrante) de las direcciones positivas de los ejes.
Con respecto a los signos de las coordenadas, merece particular mención I. Newton (1642-1727) por ser el primer matemático que sacó grandes ventajas de la consideración de dichos signos, mereced a lo cual logró grandes simplificaciones.
Con el mismo Newton comienza, propiamente, a considerarse la hipérbola como una curva de dos ramas, cosa que no se había hecho antes, pues Apolonio no consideraba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva.
Justo es advertir que el considerar de una manera sistemática el signo de los segmentos, así como el de los ángulos, de las áreas, etc., sólo se hizo en época posterior, por A. F. Mobius (1790-1868).
En cuanto a los sucesores de Descartes, y a los que siguieron a Newton, le dieron poco impulso a la Geometría Analítica, y únicamente se esmeraron en aclarar las ideas de esos maestros. Entre los continuadores de la obra de Cartesio, además del marqués de L´Hospital, debe mencionarse al ya citado F. de La Hire. Un adelanto importante que se tiene con este matemático, pues enseña que, con respecto a las coordenadas de un punto, puede tomarse indistintamente una de ellas como variable independiente y la otra como dependiente de la primera, y viceversa. Para entender su expresión, necesita tenerse presenta que llama origen del lugar al origen; que las coordenadas de un punto arbitrario las designa con los nombres de tallo y ramas; que entiende por nudo el pie de la ordenada del punto considerado y que por lugar entiende a toda línea o superficie cuyos puntos todos tienen una misma relación con determinados elementos fijos, Su manera de expresar la indicada propiedad es: Pueden cambiarse las partes del Tallo en Ramas y las Ramas en partes del Tallo, sin cambiar el lugar, el origen ni el ángulo comprendido entre el Tallo y las Ramas.